Lista de primos de Mersenne e números perfeitos -
List of Mersenne primes and perfect numbers

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Hastes Cuisenaire mostrando os divisores adequados de 6 (1, 2 e 3) somando 6
Visualização de 6 como um número perfeito
Um gráfico traçando anos no eixo x com o número de dígitos do maior primo conhecido logaritmicamente no eixo y, com duas linhas de tendência
Gráfico logarítmico do número de dígitos do maior primo conhecido por ano, quase todos os quais foram primos de Mersenne

Primos de Mersenne e números perfeitos são dois tipos profundamente interligados de números naturais na teoria dos números . Os primos de Mersenne, nomeados em homenagem ao frade Marin Mersenne , são números primos que podem ser expressos como

2 p − 1
para algum inteiro positivo
p
. Por exemplo,
3
é um primo de Mersenne, pois é um número primo e pode ser expresso como
2 2 − 1
. Os números
p
correspondentes aos primos de Mersenne devem ser primos, embora nem todos os primos
p
levem a primos de Mersenne - por exemplo,
2 11− 1 = 2047 = 23 × 89
. Enquanto isso, números perfeitos são números naturais que são iguais à soma de seus divisores próprios positivos , que são divisores excluindo o próprio número. Portanto,
6
é um número perfeito porque os divisores próprios de
6
são
1, 2
e
3
e
1 + 2 + 3 = 6
.

Existe uma correspondência biunívoca entre os primos de Mersenne e os números pares perfeitos. Isso se deve ao teorema de Euclides–Euler , parcialmente provado por Euclides e completado por Leonhard Euler : números pares são perfeitos se e somente se eles podem ser expressos na forma

2 p − 1 × (2 p − 1)
, onde
2 p − 1
é um primo de Mersenne. Em outras palavras, todos os números que se encaixam nessa expressão são perfeitos, enquanto todos os números perfeitos pares se encaixam nessa forma. Por exemplo, no caso de
p = 2
,
2 2 − 1 = 3
é primo, e
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
é perfeito.

Atualmente, é um problema em aberto saber se existe um número infinito de primos de Mersenne e até mesmo números perfeitos. A frequência de primos de Mersenne é o assunto da conjectura de Lenstra–Pomerance–Wagstaff , que afirma que o número esperado de primos de Mersenne menor que algum dado

x
é
( e γ / log 2) × log log x
, onde
e
é o número de Euler ,
γ
é a constante de Euler e
log
é o logaritmo natural . Também não se sabe se existem números perfeitos ímpares; várias condições sobre possíveis números perfeitos ímpares foram provadas, incluindo um limite inferior de
10 1500
.

para primos de Mersenne que é eficiente para computadores binários.

As classificações exibidas estão entre os índices atualmente conhecidos como de 2022; embora improvável, as classificações podem mudar se as menores forem descobertas. De acordo com o GIMPS, todas as possibilidades menores que o 48º expoente de trabalho

p = 57.885.161
foram verificadas e verificadas em outubro de 2021. O ano da descoberta e o descobridor são do primo de Mersenne, já que o número perfeito segue imediatamente pelo teorema de Euclides-Euler. Os descobridores indicados como "GIMPS/ nome " referem-se a descobertas do GIMPS com hardware usado por essa pessoa. As entradas posteriores são extremamente longas, portanto, apenas o primeiro e o último 6 dígitos de cada número são mostrados.

Tabela de todos os 51 primos de Mersenne atualmente conhecidos e números perfeitos correspondentes
Classificação
p
Mersenne prime dígitos primos de Mersenne Número perfeito Dígitos de números perfeitos Descoberta Descobridor Método Ref.
1 2 3 1 6 1
Tempos antigos
Conhecido pelos matemáticos gregos antigos Não registrado
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
c. 1456
Anônimo Divisão de teste
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Divisão de teste com restrições modulares
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
novembro de 1883
Ivan M. Pervushin Sequências de Lucas
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
Junho de 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1º de junho de 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10 de janeiro de 1876
Édouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30 de janeiro de 1952
Rafael M. Robinson LLT no SWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770
25 de junho de 1952
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327
7 de outubro de 1952
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373
9 de outubro de 1952
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937
8 de setembro de 1957
Hans Riesel LLT em BESK
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561
3 de novembro de 1961
Alexandre Hurwitz LLT no IBM 7090
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834
11 de maio de 1963
Donald B. Gillies LLT em ILLIAC II
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985
16 de maio de 1963
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751
2 de junho de 1963
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003
4 de março de 1971
Bryant Tuckerman LLT no IBM 360/91
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066
30 de outubro de 1978
Landon Curt Noll e Laura Nickel LLT no CDC Cyber 174
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973
9 de fevereiro de 1979
Landon Curt Noll
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790
8 de abril de 1979
Harry L. Nelson & David Slowinski LLT em Cray-1
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924
25 de setembro de 1982
David Slowinski
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530
29 de janeiro de 1988
Walter Colquitt & Luke Welsh LLT no NEC SX - 2
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502
19 de setembro de 1983
David Slowinski et al. ( Cray ) LLT em Cray X-MP
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100
1º de setembro de 1985
LLT em Cray X-MP/24
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663
17 de fevereiro de 1992
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430
4 de janeiro de 1994
LLT em Cray C90
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263
3 de setembro de 1996
LLT em Cray T94
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842
13 de novembro de 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT/ Prime95 em PC Pentium de 90 MHz
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864
24 de agosto de 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT/Prime95 em PC Pentium de 100 MHz
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050
27 de janeiro de 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT/Prime95 em PC Pentium de 200 MHz
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919
1º de junho de 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 no IBM Aptiva com processador Pentium II de 350 MHz
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892
14 de novembro de 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 no PC com processador Athlon
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858
17 de novembro de 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT/Prime95 no Dell Dimension PC com processador Pentium 4 de 2 GHz
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465
15 de maio de 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 no PC com processador Pentium 4 de 2,4 GHz
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458
18 de fevereiro de 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103
15 de dezembro de 2005
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 no PC na University of Central Missouri
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714
4 de setembro de 2006
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543
6 de setembro de 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT/Prime95 no PC
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127
4 de junho de 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 em PC com processador Intel Core 2 de 3 GHz
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377
23 de agosto de 2008
GIMPS / Edson Smith LLT/Prime95 no PC Dell OptiPlex com processador Intel Core 2 Duo E6600
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340
25 de janeiro de 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 no PC na University of Central Missouri
* 59.451.331 Menor marco não verificado
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235
7 de janeiro de 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT/Prime95 em PC com processador Intel Core i7-4790
50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850
26 de dezembro de 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT/Prime95 em PC com processador Intel Core i5-6600
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095
7 de dezembro de 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 no PC com processador Intel Core i5-4590T
* 107.148.487 Menor marco não testado

Notas

Referências