Número piramidal quadrado -

Square pyramidal number

Os números piramidais eram um dos poucos tipos de números figurados tridimensionais estudados na matemática grega , em obras de Nicômaco , Teão de Esmirna e Jâmblico . Fórmulas para somar quadrados consecutivos para dar um polinômio cúbico, cujos valores são os números quadrados piramidais, são dadas por Arquimedes , que usou essa soma como lema como parte de um estudo do volume de um cone , e por Fibonacci , como parte de uma solução mais geral para o problema de encontrar fórmulas para somas de progressões de quadrados. Os números piramidais quadrados também foram uma das famílias de números figurados estudados pelos matemáticos japoneses do período wasan, que os nomearam "kirei saijo suida".

O mesmo problema, formulado como o de contar as balas de canhão em uma pirâmide quadrada, foi proposto por Walter Raleigh ao matemático Thomas Harriot no final dos anos 1500, enquanto ambos estavam em uma viagem marítima. Diz-se que o problema da bala de canhão , perguntando se existem números piramidais quadrados que também são números quadrados diferentes de 1 e 4900, se desenvolveu a partir dessa troca. Édouard Lucas encontrou a pirâmide de 4.900 bolas com um número quadrado de bolas e, ao tornar o problema da bala de canhão mais conhecido, sugeriu que era a única solução não trivial. Após provas incompletas de Lucas e Claude-Séraphin Moret-Blanc, a primeira prova completa de que não existem outros números desse tipo foi dada por GN Watson em 1918.

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Se as esferas são empacotadas em pirâmides quadradas cujo número de camadas é 1, 2, 3, etc., então os números piramidais quadrados que dão o número de esferas em cada pirâmide são:

Esses números podem ser calculados algebricamente, como segue. Se uma pirâmide de esferas é decomposta em suas camadas quadradas com um número quadrado de esferas em cada uma, então o número total de esferas pode ser contado como a soma do número de esferas em cada quadrado,

${\estilo de exibição P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

e esta soma pode ser resolvida para dar um polinômio cúbico , que pode ser escrito de várias maneiras equivalentes:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Esta equação para uma soma de quadrados é um caso especial da fórmula de Faulhaber para somas de potências, e pode ser provada por indução matemática . 1

Enumeração geométrica

Todos os 30 quadrados em uma grade 4×4

Este número pode ser derivado da seguinte forma:

• O número de quadrados
  1 × 1
  encontrados na grade é
  n ²
  .
• O número de quadrados
  2 × 2
  encontrados na grade é
  ( n − 1) ²
  . Estes podem ser contados contando todos os cantos superiores esquerdos possíveis de
  2 × 2
  quadrados.
• O número de
  k × k
  quadrados
  (1 ≤ k ≤ n )
  encontrados na grade é
  ( n − k + 1) ²
  . Estes podem ser contados contando todos os cantos superiores esquerdos possíveis de
  k × k
  quadrados.

Segue-se que o número de quadrados em uma grade quadrada

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Ou seja, a solução do quebra-cabeça é dada pelo . são consideradas equivalentes, o número de matrizes com coeficientes inteiros não negativos somando , para valores ímpares de , é um número piramidal quadrado.

${\estilo de exibição P_{n}}$

Relações com outros números figurados

Uma pirâmide quadrada de balas de canhão no Castelo de Rye, na Inglaterra

4900 bolas dispostas como uma pirâmide quadrada de lado 24 e um quadrado de lado 70

O problema da bala de canhão pede os tamanhos das pirâmides das balas de canhão que também podem ser espalhadas para formar uma matriz quadrada, ou equivalentemente, quais números são quadrados e piramidais quadrados. Além de 1, há apenas um outro número que tem essa propriedade: 4900, que é o número 70º quadrado e o número piramidal 24º quadrado.

Os números piramidais quadrados podem ser expressos como somas de coeficientes binomiais :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

Os coeficientes binomiais que ocorrem nesta representação são números tetraédricos , e esta fórmula expressa um número piramidal quadrado como a soma de dois números tetraédricos da mesma forma que os números quadrados são as somas de dois números triangulares consecutivos . Se um tetraedro é refletido em uma de suas faces, as duas cópias formam uma bipirâmide triangular . Os números piramidais quadrados são também os números figurados das bipirâmides triangulares, e esta fórmula pode ser interpretada como uma igualdade entre os números piramidais quadrados e os números bipiramidais triangulares. Analogamente, refletir uma pirâmide quadrada em sua base produz um octaedro, do qual se segue que cada número octaédrico é a soma de dois números piramidais quadrados consecutivos.

Os números piramidais quadrados também estão relacionados aos números tetraédricos de uma maneira diferente: os pontos de quatro cópias da mesma pirâmide quadrada podem ser rearranjados para formar um único tetraedro com o dobro de pontos ao longo de cada aresta. Aquilo é,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Outras propriedades

, embora convirja mais rapidamente. Isto é:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0,849556.\ \\end{alinhado}}}$$

Na teoria da aproximação , as sequências de números ímpares, somas de números ímpares (números quadrados), somas de números quadrados (números piramidais quadrados), etc., formam os coeficientes em um método para converter aproximações de Chebyshev em polinômios .

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. , "Número piramidal quadrado" , MathWorld